공업 수학 자료
공업 수학
[편입수학] 이상돈-공업수학의 공식과 요약!! 이것만 참고하면 공업수학이 한눈에 들어옵니다.
-공업 수학 기초
-제1장 기초미분학
-제2장 벡터해석학
-제3장 원통좌표계와구좌표계
-제4장 행렬
-제5장 미분방정식
-제6장 라플라스변환
-제7장 복소함수
-요약본..제 7 장 복소 함수
목 차
1. 복소수와 복소함수
2. 해석함수와 Cauthy-Riemann 조건
3. Cauthy의 적분 정리
4. Cauthy의 적분 공식
5. Raurent 전개
6. Residue
7. Residue를 이용한 정적분 계산
8. 사상 (Mapping)
1. 복소수와 복소함수
★ 복소수 의 정의 ;
★ 복소수의 극 형식 ;
,
★ 복소수의 곱 ; 인 때,
★ 복소수의 승과 차 root ;
★ 복소함수 ; 복소수 집합을 정의 구역으로 갖는 함수
★ 쌍곡함수 ;
,
2. 해석함수와 Cauthy-Riemann 조건
★ 복소함수의 도함수 ;
로 정의된다. 이러한 복소 함수의 도함수가 점에 접근하는 경로에 무관할 때 해석함수라 한다.
★ Cauthy - Riemann 조건 ; 가 해석함수가 되기 위한 필요 충분 조건
★ Cauthy - Riemann 조건의 극좌표 표현 ;
★ 가 해석함수이면 , 는 Laplace 방정식의 해이다.
3. Cauthy의 적분 정리
★ 경로 C를 따라 행한 적분식 ;
★ 해석함수의 경로적분 값은 경로에 무관하다. 그러나 비해석 함수의 경우 경로에 따라 적분 값이 달라진다.
★ Cauthy 정리 ;
경로 C가 단일 곡선이면서 닫힌 곡선일 때, 복소함수 가 곡선 C와 곡선 내부에서 해석 함수이면,
이다.
4. Cauthy의 적분 공식
★ 함수 가 닫힌 경로 C의 위와 안에서 해석 함수이고, 가 C가 둘러싼 내부의 임의의 점이라고 할 때,
이다.
참고: 위 식의 는 해석함수 일지라도 는 에서 해석함수가 아니다! 그러나 아래 그림과 같이 를 비켜 가면 Cauthy의 적분 공식을 적용할 수 있다.
★ 함수 가 닫힌 경로 C의 위와 안에서 해석 함수이고, 가 C가 둘러싼 내부의 임의의 점이라고 할 때,
이다.
5. Raurent 전개
★ 고리 모양의 영역 내에서 해석적인 함수 가 닫힌 경로 C의 위와 안에서 해석 함수이고, 가 C가 둘러싼 내부의 임의의 점이라고 하자. 그러면,
이 된다. 이제 이 식을 주변에서 에 관해 급수로 표현해 보면,
의 급수 표현이 나오며, 이를 Laurent 급수라고 한다.
위 식의 2개 표현을 합하여,
,
으로 표현할 수 있으며, 이 때, 의 계수 을 Residue 라고 한다.
Taylor 급수와 Laurent 급수와의 차이점은 의 negative power에 있다. 그 결과 Laurent 급수는 에서 발산한다.
★ 복소함수 가 해석적이지 않은 점을 특이점(singularity)이라고 한다.
★ 특이점은 다음과 같이 분류한다.
a) 이 발산하지 않고 특정한 값을 주면, 의차수를 가진 극이라고 한다. (pole of order )
b) 특히, 이면, 단일극이라고 한다. (simple pole)
c) 어떠한 에 대해서도 특정한 값이 주어지지 않으면 진성 특이점이라고 한다. (essential singularity)
6. Residue
★ 함수 가 닫힌 경로 C의 위와 안에서 해석 함수이고, C가 둘러싼 내부의 임의의 점들이 와 같이 여러 개 있다고 할 때,
이다.
★ Residue의 계산 :
1)
2) 가 의 단일극이고, 로 표시될 때,
3) 가 의 차 극일 때,
7. Residue를 이용한 정적분
★ 꼴의 정적분 : 이러한 적분을 구하기 위해선 먼저,
이어야 한다.
★ Residue의 계산 예 : 예제 7.7.1- 7.7.6
8. 사상 (Mapping)
★ 해석 함수 에 의하여 평면상의 한 점 는 평면상의 한 점 와 대응된다. 이 때, 에 대하여 를 의 상(image)라고 하고, 이러한 변환을 사상(mapping)이라고 한다.
★ 면적요소 : 평면상의 면적요소 와 평면에서의 면적 요소 사이의 관계 :
★ 평행이동 : 에 의하여 평면상의 한점 는 방향으로는 , 방향으로는 만큼 이동한다.
★ 회전 : 평면상의 한 점 을 각 만큼 회전시키기 위해서는 를 곱한다. 이 점은 이 된다.
★ 역전 : 인 때, 를 역전이라 한다. 이 때, 이다.
★ 분수 변환 : 복소평면 상의 한 점 를 와 같이 변환시킨 것. 는 일반적으로 복소수이다.
참고: 평행이동은 ,
회전은 ,
역전은 에
각각 대응된다.
참고: 의 관계를 만족하는 점을 부동점 (fixed point) 라고 한다. 이 점은 의 해에서 구한다.
★ 평면의 세점 을 평면상의 세 점 으로 보내는 분수 변환은,
에 의하여 주어진다.
★ conformal mapping : 평면의 곡선 를 평면으로 사영하는 함수가 로 주어질 때, 평면 상의 두 곡선 가 이루는 각이 평면상에서 사영된 곡선이 이루는 각과 같은 사상을 등각 사상이라고 한다.
★ 예제 : 평면에서 인 직선을 역전 변환시키면 평면에서는 어떠한 곡선이 되는가?
이므로
이다. 또한, 를 로 표현하면,
이 된다.
이고, 이 식으로부터 을 얻는다. 이식을 정리하면,
이 된다.
이 것은 평면에서 중심이 이고, 반경이 인 원을 나타낸다.
자료출처 : http://www.ALLReport.co.kr/search/Detail.asp?xid=a&kid=b&pk=11018211&sid=leesk55&key=
[문서정보]
문서분량 : 105 Page
파일종류 : HWP 파일
자료제목 : 공업 수학
파일이름 : 공업 수학 제7장 복소함수.hwp
키워드 : 편입수학,공업,수학
자료No(pk) : 11018211